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设F是个有4个元素的域,证F的特征值是2,F中任一非零元或单位元e的元素x均满足方程x^2=x+e

时间:2025-01-25 15:35来源: 作者:admin 点击: 35 次
设F是个有4个元素的域,证F的特征值是2,F中任一非零元或单位元e的元素x均满足方程x^2=x+e(不知道对应中文的名词我用英文代替了,抱歉)首先任意有限数域都是素数平方的order,而数域是一个domain,所以特征值要么0要

(不晓得对应中文的名词我用英文与代了,报歉)首先任意有限数域都是素数平方的order,而数域是一个domain,所以特征值要么0要么素数,但是数域有限,所以只能是素数,而且不能大于4,所以只能是2大概3。依据Lagrange theorem, 咱们必须有特征值整除4,所以只能是2
如果V是数域内非零非单位元的元素,这么由于e+e=0,所以0=V(e+e)=Ve+Ve=V+V. 所以剩下的一个元素y必须是V的multiplicatiZZZe inZZZerse, 即Vy=e。由于F只要4个元素0,e,V, y, 所以V+e必须为此中一个:若V+e=0,则V=e,矛盾; 若V+e=e,则V=0,矛盾;若V+e=V,则V+V=V+e+V,即 0=e,矛盾;所以必须有V+e=y,所以V(V+e)=V^2+V=Vy=e,获得V^2=V^2+V+V=e+V,同理对y创建。

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