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证明n个元素的所有偶置换作成群(叫做n次交代群)。写出四次交代群中的元素,n次交代群的元数为何?

时间:2025-01-14 23:24来源: 作者:admin 点击: 86 次
证明n个元素的所有偶置换作成群(叫做n次交代群)。写出四次交代群中的元素,n次交代群的元数为何?一、证明n个元素的所有偶置换是群。①非空,n元恒等置换I是偶置换。②运算封闭。偶置换×偶置换=偶置换。③运算满

一、证真n个元素的所有偶置换是群。
①非空,n元恒等置换I是偶置换。
②运算封闭。偶置换×偶置换=偶置换。
③运算满足联结律。置换乘法满足联结律,偶置换乘法封闭,所以偶置换乘法也满足联结律。
④有单位元。n元恒等置换I是单位元。
⑤所有置换都有逆。设有一置换τ,若其有逆元τ',则τ×τ'=I,而τ和I均是偶置换,偶置换×偶置换=偶置换,故τ'注定是偶置换,所以τ'便是τ的逆。
综上所述,n个元素的所有偶置换是群,叫作n次交代群。
二、四次交代群中的元素。
I、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)、(123)、(132)、(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243)。
三、n次交代群的元数。
二分之n的阶乘,n!/2。

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